W matematyce liczby całkowite i wymierne to pojęcia, które pozwalają opisywać różne rodzaje wielkości. Oba zbiory mają swoje unikalne właściwości, a ich zrozumienie jest kluczowe w nauce bardziej zaawansowanych działów matematyki.
Liczby całkowite – definicja i przykłady
Liczby całkowite to rozszerzenie liczb naturalnych o liczby ujemne. Oznaczamy je symbolem ℤ. Zbiór liczb całkowitych obejmuje:
- liczby naturalne: 0, 1, 2, 3…,
- liczby ujemne: -1, -2, -3…,
- zero: 0.
Liczby całkowite nie zawierają ułamków ani części dziesiętnych.
Przykłady liczb całkowitych:
- 7 (liczba dodatnia),
- -4 (liczba ujemna),
- 0 (wartość neutralna).
Właściwości liczb całkowitych
- zbiór całkowitych są uporządkowane, co oznacza, że można je porównać (np. -2 < 0 < 3).
- Są nieskończone – zarówno w stronę liczb dodatnich, jak i ujemnych.
- Są zamknięte względem dodawania, odejmowania i mnożenia (wynik tych działań zawsze należy do zbioru liczb całkowitych).
Liczby wymierne – definicja i przykłady
Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka p/q, gdzie:
- p i q są liczbami całkowitymi,
- q ≠ 0.
Oznaczamy je symbolem ℚ.
Liczby wymierne obejmują:
- liczby całkowite (bo każdą liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek, np. 3 = 3/1),
- ułamki zwykłe, np. 1/2, -4/5,
- liczby dziesiętne skończone, np. 0,25,
- liczby dziesiętne okresowe, np. 0,(3).
Przykłady liczb wymiernych:
- 5 (jako 5/1),
- -7/3 (ułamek),
- 0,75 (skończona dziesiętna),
- -0,(6) (okresowa dziesiętna).
Właściwości liczb wymiernych
- Liczby wymierne można zapisać w postaci ułamka.
- Są gęste – pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi istnieje nieskończona liczba innych liczb wymiernych.
- Są zamknięte względem dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia (z wyjątkiem dzielenia przez 0).
Różnice między liczbami całkowitymi a wymiernymi
- Zbiór liczb całkowitych (ℤ) jest podzbiorem liczb wymiernych (ℚ).
- Liczby całkowite są „prostsze” – nie mają ułamków ani części dziesiętnych.
- Liczby wymierne mogą przybierać bardziej złożone formy, np. ułamki i liczby dziesiętne.
Przykłady zastosowania
Liczby całkowite:
- Temperatura: -5°C, 20°C.
- Liczenie pieniędzy (bez groszy): -100 zł długu, 50 zł na koncie.
Liczby wymierne:
- Długość: 1,5 metra.
- Ułamki w kuchni: 1/2 szklanki cukru.
Zrozumienie różnic między liczbami całkowitymi i wymiernymi jest kluczowe w codziennym życiu i w nauce matematyki. Dalsze odkrywanie tych pojęć znajdziesz na stronie ignacykwiecien.pl.
Czytaj, ucz się i odkrywaj świat liczb!
